1什麼是前綴和
假設你有一份「每天募款金額」的紀錄，老師常常問你：「第5天到第20天總共募了多少錢？」如果你每次都乖乖從第5天加到第20天，資料一多、問的次數一多，會算到手軟——而且明明第一次問「第5~20天」跟第二次問「第5~25天」，你其實有一大段（第5~20天）是重複算過的。
前綴和的想法是：先花一次功夫，把「從第1天累加到第i天」的結果，通通事先算好存起來，之後不管問哪一段區間的總和，都可以直接用兩個事先算好的數字相減得到，不用重新掃描那一整段。這是資訊科學裡「用一次額外的準備工作，換取後面每一次查詢都變快」的經典例子——你會發現前面M2-05「模擬與狀態」的部分題目就已經悄悄埋了「要查詢很多次區間總和」的情境，前綴和正是用來解決那類問題的正式工具。
2核心概念，依課程題目的順序拆解
1
建立前綴和陣列——每天結束時的累積總額
你要做的事：給定N天的每日金額，輸出「第1天到第i天為止」的累積總額，對每一個i都輸出一次。這一步其實就是你在M0-04學過的「累加」技巧——差別是這次要把每一步的累加結果都存下來（不是只要最後的總和），因為後面的查詢會需要用到中間任何一步的累積值。
每日金額：
3
5
2
7
4
↓ 累加
前綴和陣列（累積到第 i 天為止）：
3
8
10
17
21
🆕 補充圖解：前綴和陣列把每一步的累加結果都存下來，不只存最後結果新增
募款進度累積表（M3-02-01）
2
用前綴和回答「一段區間」的總和查詢
你要做的事：查詢「第L天到第R天」（含頭尾）總共募了多少錢。有了概念1的前綴和陣列後，答案就是：「到第R天為止的累積總額」減掉「到第L-1天為止的累積總額」。
查詢第2天到第4天（L=2, R=4）：前綴和[4] − 前綴和[1] = 17 − 3 = 14
3
8
10
17
21
🆕 補充圖解：一次減法就能算出任何一段區間的總和，不用重新掃描新增
區間募款查詢（M3-02-02）
⚠️ 常見誤區（這是這個單元最容易出錯、也是最重要的一個觀念）
一定要減掉「第L-1天」而不是「第L天」——如果你不小心減成「到第L天為止」的累積總額，你會把第L天本身也扣掉，結果少算了一天。自己動手驗證一次：如果L=1（要查第1天開始），前綴和陣列裡沒有「第0天」這個東西，這時候要把它當作0（一天都還沒開始，累積總額當然是0）。很多同學會在這裡卡住，建議自己明確定義清楚：「到第0天為止的累積總額＝0」，讓公式在L=1的邊界情況也能套用，不用另外寫特殊判斷。3
重複套用同一招——一次處理多筆查詢
你要做的事：同一份募款紀錄，這次要一次查詢很多組不同的區間。這一題沒有新概念——前綴和陣列只要建立一次，之後每一組查詢都直接套用概念2的公式，不用每組查詢都重新掃描資料。這正是前綴和最大的優勢所在：準備工作只做一次，後面的查詢不管做幾次都很快。
募款多筆區間查詢（M3-02-03）
4
用前綴和算平均值，判斷是否達標
你要做的事：判斷第L天到第R天（含頭尾）的平均氣溫，是否達到某個門檻。這一題結合了概念2（用前綴和算出區間總和）跟你在M1-03學過的「整數平均」技巧——先用前綴和算出區間總和，再除以天數（R-L+1），拿去跟門檻比較。
區間平均氣溫是否達標（M3-02-04）
5
從區間總和中「扣除」某一天
你要做的事：給定L到R的募款範圍，但其中有一天要扣掉不列入計算，求扣除後的區間總額。做法是：先用概念2算出「L到R的區間總和」，再直接減掉「那一天單獨的金額」（不是用前綴和相減，是直接減掉那一天的原始數值）。
扣除單日的區間總和（M3-02-05）
6
反過來找出「總和剛好等於目標值」的區間
你要做的事：找出一組連續區間（第L天到第R天），使這段區間的點數總和剛好等於目標值。這一題是前面的「反向應用」——前面都是「給你L、R，算總和」，這一題是「給你總和，找出對應的L、R」。做法是：對每一組可能的L、R組合，用概念2的公式快速算出區間總和（因為前綴和已經事先算好，每組只要一次減法，不用重新掃描），去比對是否等於目標值。
找出總和等於目標值的區間（M3-02-06）
3建議練習順序對照表
| 順序 | 概念 | 題目 | 課程 |
|---|---|---|---|
| 1 | 建立前綴和陣列 | 募款進度累積表（M3-02-01） | M3-02 |
| 2 | 區間總和查詢 | 區間募款查詢（M3-02-02） | M3-02 |
| 3 | 多筆查詢 | 募款多筆區間查詢（M3-02-03） | M3-02 |
| 4 | 區間平均值判斷 | 區間平均氣溫是否達標（M3-02-04） | M3-02 |
| 5 | 扣除單日 | 扣除單日的區間總和（M3-02-05） | M3-02 |
| 6 | 反向找區間 | 找出總和等於目標值的區間（M3-02-06） | M3-02 |
🆕 本頁新增內容說明
以下視覺元素為 Cowork 潤飾時新增，MD 正本中沒有：① 原始資料→前綴和陣列的建立圖解 ② 區間查詢的減法圖解。若確認保留，建議之後補進 MD 正本。